LES PRODUITS REMARQUABLES

On appelle produits remarquables ou identités remarquables un ensemble de formules à connaître par cœur de la gauche vers la droite mais également de la droite vers la gauche. On les utilise principalement dans les exercices lors des factorisations ou des développements.

Ces formules se présentent soit au second degré, c'est-à-dire avec 2 comme exposant le plus élevé, ou au troisième degré avec 3 comme exposant le plus élevé.

Les produits remarquables du second degré.

produits-remarquables

Chacune des ces 3 formules peut se démontrer en effectuant une distribution et en tenant compte de la règle des signes applicable aux produits et quotients.
Rappelons la règle des signes :  + par + donne +, - par - donne + et  + par - donne -.

Développons (a+b)2 c'est-à-dire (a+b)(a+b) ce qui donne  a2 + ab + ba + b2 . Les produits ba et ab étant équivalents, on obtient a2 + 2ab + b2

Développons (a-b)2 c'est-à-dire (a-b)(a-b) ce qui donne  a2  -ab (règle des signes ) -ba (règle des signes ) + b2 (règle des signes).  Les produits ba et ab étant équivalents, on obtient a2 - 2ab + b2

Développons (a-b)(a+b) ce qui donne  a2 + ab -ba - b2  Les produits ba et ab étant équivalents, ils s'annulent et on obtient ainsi a2 - b2

Démonstration graphique de  (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

ab-au-carre-1024x1017

On veut connaître l'aire d'un carré ayant pour côté a+b connaissant a et b.

Ici, en bleu, l'aire a2 représente un carré dont le côté vaut a
De même, l'aire b2 , en rouge, représente un carré dont le côté vaut b
Le carré de côté a+b vaut le carré a2 plus le carré b2 plus 2 fois le rectangle ab.
En conclusion :(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 

Démonstration graphique:de  (a-b)2 = a2  - 2ab + b2

a-b-au-carre-1024x611On veut connaître l'aire d'un carré ayant pour côté a-b connaissant a et b.

ici, on recherche l'aire du carré de côté a-b, soit le petit carré bleu de la figure de gauche.

On retire du grand carré bleu d'aire a2  deux rectangles vert d'aire ab.  On constate que l'aire correspondant à b2 a été retirée deux fois.  Il suffira d'ajouter une fois l'aire b2 pour compenser ce double retrait.  Ce qui donne comme résultat  (a-b)2 = a2  - 2ab + b2

Les produits remarquables du troisième degré.

produits-remarquables-cube

Avec le troisième degré, on va aborder un aspect volumique.Pour démontrer (a + b)3 ou (a + b) (a + b) (a + b), on commence par remplacer (a + b) (a + b) par son équivalent du second degré soit (a2 + 2ab + b2 ) qu'on multiplie par (a + b). Ce qui donne (a + b ) (a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 2a2b +  ab2 + a2b+ 2ab2 + b3   soit a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Pour démontrer (a - b)3 ou (a - b) (a - b) (a - b), on commence par remplacer (a - b) (a - b) par son équivalent du second degré soit (a2 - 2ab + b2 ) qu'on multiplie par (a - b).   Ce qui donne  (a - b) (a2 - 2ab + b2 ) = a3 - 2a2b +  ab2 - a2b + 2ab2 - b3   soit a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Pour démontrer (a + b) (a2 - ab + b2), on développe le produit ce qui donne
a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 soit a3 + b3.

Pour démontrer (a - b) (a2 + ab + b2), on développe le produit ce qui donne
a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 soit a3 - b3.

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